무엇을 풀 수 있나, 무엇이 필요한가
삼각형은 여섯 측정값 중 세 개를 알면 정해집니다 — 단, 적어도 하나는 변이어야 합니다. 세 각만으로는 모양은 정해져도 크기가 정해지지 않기 때문입니다. 대표 경우는 SSS(세 변), SAS(두 변과 낀 각), ASA·AAS(두 각과 한 변), SSA(두 변과 끼지 않은 각 — 답이 두 개일 수 있음)입니다. 이 계산기는 입력한 경우를 자동으로 판별해 알맞은 법칙을 적용합니다.
사인법칙과 코사인법칙
두 규칙이 모든 걸 해결합니다. 사인법칙 a/sin A = b/sin B = c/sin C는 각과 그 대변을 잇고, ASA·AAS·SSA에 씁니다. 코사인법칙 c² = a² + b² − 2ab·cos C는 SSS(각을 구할 때)와 SAS(세 번째 변을 구할 때)에 씁니다. 세 변과 세 각이 모두 정해지면 나머지도 구합니다.
| 아는 값 | 경우 | 방법 |
|---|---|---|
| 세 변 | SSS | 코사인법칙으로 각 각 |
| 두 변 + 낀 각 | SAS | 코사인법칙 뒤 사인법칙 |
| 두 각 + 한 변 | ASA / AAS | 각의 합 뒤 사인법칙 |
| 두 변 + 맞은편 각 | SSA | 사인법칙 (답 두 개 가능) |
넓이·둘레·종류
둘레는 a + b + c입니다. 넓이는 세 요소가 정해지면 ½ × a × b × sin(C)로 구하며 세 변으로 구하는 헤론의 공식과 일치합니다. 또 삼각형을 두 가지로 분류합니다 — 변 기준(정삼각형·이등변삼각형·부등변삼각형)과 가장 큰 각 기준(예각·직각 정확히 90°·둔각). 예를 들어 3-4-5 삼각형은 넓이 6인 부등변 직각삼각형으로 나옵니다.
사용법
입력은 세 단계면 끝납니다. 첫째, 변 a·b·c 칸과 각 A·B·C 칸 중 아는 값만 골라 세 개를 채웁니다. 변 a는 각 A의 맞은편, 변 b는 각 B의 맞은편, 변 c는 각 C의 맞은편이라는 점만 지키면 어느 칸을 쓰든 상관없습니다. 둘째, 각은 도(°) 단위로 넣습니다. 라디안이 아니라 60분법 각도이며, 0°보다 크고 180°보다 작아야 합니다. 셋째, 세 번째 값을 넣는 순간 자동으로 계산돼 여섯 값과 넓이·둘레·종류가 함께 나옵니다. 결과 아래 복사 버튼을 누르면 변·각·넓이·둘레가 한 줄 텍스트로 복사되어 메모나 과제에 그대로 붙여 넣을 수 있습니다. 값을 고치면 결과도 즉시 다시 계산됩니다.
모든 결과는 소수점 넷째 자리에서 반올림해 셋째 자리까지 보여 줍니다. 계산은 브라우저 안에서만 이뤄지고 입력값은 서버로 전송되거나 저장되지 않습니다.
계산 예시
실제로 어떻게 풀리는지 세 가지로 확인해 보세요.
- SSS — a=3, b=4, c=5: 코사인법칙으로 각을 구하면 A≈36.87°, B≈53.13°, C=90°가 됩니다. 넓이는 ½×3×4×sin90°=6, 둘레는 12이고 종류는 "부등변삼각형 · 직각"으로 표시됩니다.
- SAS — a=5, b=7, 낀 각 C=60°: c² = 25 + 49 − 2×5×7×cos60° = 39이므로 c≈6.245입니다. 이어서 나머지 각을 구하고 넓이는 ½×5×7×sin60°≈15.155가 됩니다.
- AAS — A=40°, B=60°, a=8: 세 각의 합이 180°이므로 C=80°이고, 사인법칙 a/sinA = b/sinB에서 b≈10.777, c≈12.256이 나옵니다.
세 변으로 삼각형을 만들 수 없는 값(예: 1, 2, 5)을 넣으면 "각 변은 나머지 두 변의 합보다 작아야 합니다"라는 안내가 뜹니다. 이것이 삼각부등식입니다.
활용과 주의점
토지·지붕·화단처럼 직사각형이 아닌 면적을 세 변만 재서 구할 때, 도면에서 각도만 알고 길이를 역산할 때, 수학 문제의 답을 검산할 때 유용합니다. 다만 몇 가지는 알아 두는 편이 좋습니다.
- SSA는 답이 여러 개일 수 있습니다. 두 변과 끼지 않은 각을 넣으면 조건에 따라 해가 0개·1개·2개가 됩니다. 이 계산기는 사인법칙으로 얻은 예각 쪽 해 하나를 보여 주므로, 문제 상황이 둔각을 요구한다면 두 번째 해(180°에서 뺀 각)도 따로 확인하세요.
- 단위는 섞지 마세요. 변의 단위는 지정하지 않으므로 m로 넣으면 넓이는 ㎡, cm로 넣으면 넓이는 ㎠가 됩니다. 세 변을 같은 단위로 통일해 입력해야 합니다.
- 반올림 오차가 쌓일 수 있습니다. 중간값을 손으로 옮겨 적어 다시 넣기보다는 원래 측정값을 한 번에 넣는 편이 정확합니다.
- 각이 90°에 아주 가깝지만 정확히 90°가 아니면 예각 또는 둔각으로 분류됩니다. 측정값에는 오차가 있을 수 있다는 점을 감안하세요.
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자주 묻는 질문
삼각형을 풀려면 값이 몇 개 필요한가요?
어떤 값이든 세 개가 필요하고, 그중 적어도 하나는 변이어야 합니다. 세 각만으로는 모양만 정해지고 크기는 정해지지 않기 때문입니다. 세 변(SSS), 두 변과 낀 각(SAS), 두 각과 한 변(ASA·AAS) 등이 가능합니다.
삼각형 넓이는 어떻게 구하나요?
밑변과 높이가 있으면 넓이 = ½ × 밑변 × 높이입니다. 세 변이 있으면 헤론의 공식을, 두 변과 낀 각이 있으면 넓이 = ½ × a × b × sin(C)를 씁니다. 이 계산기가 상황에 맞는 방법을 자동으로 고릅니다.
세 각만으로는 왜 못 푸나요?
세 각은 모양만 정하고 크기는 정하지 못합니다 — 같은 각을 가진 삼각형이 무수히 많기 때문입니다. 크기를 정하려면 변이 최소 하나 필요합니다.
SSA(애매한 경우)가 뭔가요?
두 변과 그중 한 변의 맞은편 각을 알 때는 답이 0·1·2개일 수 있습니다. 이 계산기는 유효한 답 하나를 보여 주므로, 둔각인 두 번째 답도 조건에 맞는지 확인하세요.
직각삼각형은 어떻게 판별하나요?
가장 큰 각이 90°일 때입니다. 세 변으로는 가장 긴 변 c에 대해 a² + b² = c²일 때 — 피타고라스 정리입니다.
각은 라디안으로 넣어도 되나요?
아니요, 도(°) 단위로만 입력합니다. 0°보다 크고 180°보다 작은 값이어야 하며, 범위를 벗어나면 안내 문구가 표시됩니다. 라디안 값이 있다면 180/π를 곱해 도로 바꿔 입력하세요.
넓이의 단위는 무엇인가요?
변의 단위를 따라갑니다. 변을 m로 넣었다면 넓이는 ㎡, cm로 넣었다면 ㎠입니다. 세 변을 서로 다른 단위로 섞어 넣으면 결과가 맞지 않으니 하나로 통일해 주세요.
세 변을 넣었는데 삼각형이 아니라고 나옵니다.
삼각부등식을 만족하지 않기 때문입니다. 어떤 변도 나머지 두 변의 합보다 작아야 삼각형이 됩니다. 예를 들어 1, 2, 5는 1+2가 5보다 작아 삼각형을 만들 수 없습니다.